关于事件的运算
$$\underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n= \bigcap _{k=1}^{\infty} \bigcup _{n=k}^{\infty} A_n$$
$$\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} A_n= \bigcup _{k=1}^{\infty} \bigcap _{n=k}^{\infty} A_n$$
其中，$\underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n$ 为事件序列${A_n}$的上限事件，表示$A_n$发生无穷多次。类似的，称 $\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} A_n$ 为事件序列的下限事件，表示$A_n$之多只有有限个不发生。
显然，有$$\underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n \supset \underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} A_n$$
特别的，当$\underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n = \underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} A_n$ 时，记 $ \underset{n \rightarrow \infty}{lim} A_n \equiv \underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n = \underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} A_n$，并称它为事件序列${A_n}$的极限事件。
由德摩根定律，有
$$\overline{(\bigcap _{k=1}^{\infty} \bigcup _{n=k}^{\infty} A_n)}=\bigcup _{k=1}^{\infty} \bigcap _{n=k}^{\infty} \overline{A_n}$$
$$\overline{(\bigcup _{k=1}^{\infty} \bigcap _{n=k}^{\infty} A_n)}=\bigcap _{k=1}^{\infty} \bigcup _{n=k}^{\infty} \overline{A_n}$$
因此$$\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} \overline{A_n} = \overline{(\underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n)}$$$$\underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} \overline{A_n} = \overline{(\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} A_n)}$$
由此引出的$\text{Borel-Cantelli}$引理，在概率论中有着众多应用。
$\text{Borel-Cantelli lemma}$:
若随机事件序列${A_n}$满足$$\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)<\infty$$则$$P{ \underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n}=0, P{ \underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} \overline{A_n}}=1$$
若${A_n}$是相互独立的随机事件序列，则$$\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)=\infty$$的充要条件为
$$P(\underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n)=1 \text{ or } P(\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} \overline{A_n})=0 $$
由此，我们可以进一步讨论以概率1收敛.
$$\xi_n(\omega) \overset{a.s.}{\rightarrow} \xi (\omega)$$