关于事件的运算
$$ \underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n= \bigcap _{k=1}^{\infty} \bigcup _{n=k}^{\infty} A_n $$
$$ \underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} A_n= \bigcup _{k=1}^{\infty} \bigcap _{n=k}^{\infty} A_n $$
其中，$\underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n$ 为事件序列$\{A_n\}$的上限事件，表示$A_n$发生无穷多次。类似的，称 $\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} A_n$ 为事件序列的下限事件，表示$A_n$之多只有有限个不发生。
显然，有 $$ \underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n \supset \underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} A_n $$
特别的，当$\underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n = \underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} A_n$ 时，记 $ \underset{n \rightarrow \infty}{lim} A_n \equiv \underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n = \underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} A_n$，并称它为事件序列$\{A_n\}$的极限事件。
由德摩根定律，有
$$ \overline{(\bigcap _{k=1}^{\infty} \bigcup _{n=k}^{\infty} A_n)} =\bigcup _{k=1}^{\infty} \bigcap _{n=k}^{\infty} \overline{A_n} $$
$$ \overline{(\bigcup _{k=1}^{\infty} \bigcap _{n=k}^{\infty} A_n)} =\bigcap _{k=1}^{\infty} \bigcup _{n=k}^{\infty} \overline{A_n} $$
因此 $$ \underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} \overline{A_n} = \overline{(\underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n)} $$ $$ \underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} \overline{A_n} = \overline{(\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} A_n)} $$
由此引出的$\text{Borel-Cantelli}$引理，在概率论中有着众多应用。
$\text{Borel-Cantelli lemma}$:
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若随机事件序列$\{A_n\}$满足$$\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)<\infty$$则$$P\{ \underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n\}=0, P\{ \underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} \overline{A_n}\}=1$$
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若$\{A_n\}$是相互独立的随机事件序列，则$$\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)=\infty$$的充要条件为
$$P(\underset{n \rightarrow \infty}{\overline{lim}} A_n)=1 \text{ or } P(\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{lim}} \overline{A_n})=0 $$
由此，我们可以进一步讨论以概率1收敛.
$$\xi_n(\omega) \overset{a.s.}{\rightarrow} \xi (\omega)$$
